Urodzony w Lidzbarku Warmińskim gracz podczas pierwszych lat kariery sukcesywnie piął się w górę lokalnej struktury piłkarskiej. W województwie warmińsko-mazurskim reprezentował początkowo zespół ze swojego rodzinnego miasta, Polonię, z czasem przenosząc się do DKSu Dobre Miasto oraz OKSu 1945 Olsztyn. Gra w ostatniej z wymienionych drużyn zaowocowała przenosinami do występującego na szczeblu centralnym Stomilu Olsztyn.

Szymonowicz został zawodnikiem "Dumy Warmii" w wieku 16 lat, szybko stając się graczem pierwszego zespołu. Przez 3,5 roku gry dla Stomilu zdobył niezbędne doświadczenie na szczeblu seniorskim, rozgrywając 57 spotkań w Fortuna 1 Lidze oraz Pucharze Polski. W ich trakcie czterokrotnie trafił do siatki, notując jedno kluczowe podanie. Wyróżniającym się młodym zawodnikiem zainteresował się również Trener Marcin Dorna - w 2015 roku Szymonowicz czterokrotnie reprezentował Polskę w kadrze do lat 20.

W pierwszych dniach stycznia 2016 defensor został zawodnikiem ekstraklasowej Jagiellonii Białystok, której barwy reprezentuje do dziś. Wówczas po raz pierwszy pracował z I Trenerem zespołu Pasów, Michałem Probierzem, który prowadził wtedy zespół z Podlasia.

W trakcie pierwszej rundy w najwyższej polskiej klasie rozgrywkowej Dawid Szymonowicz udanie wprowadził się do zespołu, rozgrywając osiem spotkań i zdobywając jedną bramkę. Z czasem jednak zawodnik zaczął poszukiwać gry w innych klubach. Na przestrzeni ostatnich lat występował w słowackim FC Zlaté Moravce, a także Termalice Bruk-Bet Nieciecza i Rakowie Częstochowa. W każdym z wymienionych zespołów szybko znajdował sobie miejsce w pierwszej jedenastce, stając się pewnym punktem drużyny.

Podczas zakończonych rozgrywek PKO BP Ekstraklasy 2019/20 Szymonowicz wystąpił w 20 spotkaniach w barwach Rakowa oraz Jagiellonii Białystok - znakomitą większość z nich w pełnym wymiarze czasowym. Dziś pozostaje na najwyższym szczeblu rozgrywkowym w Polsce, zasilając zespół Pasów. Dawid, witamy!